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Mathématiques : la conjecture de Collatz bientôt résolue ?




16 Décembre 2019

Elle est aussi simple qu’elle paraît impossible à résoudre ou démontrer : la conjecture de Collatz est un véritable casse-tête pour les mathématiciens depuis les années 30. Une avancée majeure a toutefois été réalisée ce qui pourrait rapprocher le monde scientifique d’une solution.


Un problème très simple

Lorsque le mathématicien allemand Lothar Collatz a inventé, dans les années 30, le problème 3x+1, devenu depuis la « conjecture de Collatz » ou la « conjecture de Syracuse », il ne s’attendait probablement pas à ce que des mathématiciens du monde entier, des décennies plus tard, continuent de chercher une solution au problème. D’autant plus que celui-ci est assez simpliste.

Le problème est le suivant : prenez un nombre entier positif. Si celui-ci est pair, divisez-le par deux ; si celui-ci est impair, multipliez-le par trois et ajoutez un. Reprenez ces étapes avec le nouveau nombre, et ainsi de suite.

Intuitivement, on aurait tendance à penser que parfois le résultat tend vers 1, d’autres fois il tend vers l’infini. Selon Collatz, ce n’est pas le cas : au bout d’un nombre plus ou moins grand d’étapes, le résultat finira toujours par donner 1 et se bloquer dans la suite 1, 4, 2, 1…

Une avancée majeure par Terence Tao

À ce jour, il n’a pas été possible de découvrir un nombre, aussi grand soit-il, qui ne confirme pas la conjecture de Collatz. Mais les mathématiciens n’ont pas été en mesure de trouver une explication ou une démonstration de sa véracité.

En septembre 2019, le mathématicien Terence Tao a réussi un exploit : il a publié une preuve que la conjecture de Collatz est vraie pour « quasiment » tous les nombres. Ce n’est donc pas une preuve à part entière, mais un début de démonstration qui pourrait déboucher sur une solution du problème.

En attendant, les mathématiciens continuent d’être fascinés et de se tenir éloignés de cette conjecture impossible à résoudre et fascinante par sa simplicité.

Si vous voulez vérifier par vous-mêmes, il existe des « calculateurs » de la Conjecture de Collatz en ligne qui vous donnent toutes les étapes de calcul et tous les résultats. Et ça reste toujours un petit jeu sympathique à réaliser en soirée : vous pourrez impressionner les convives en prédisant toujours que le résultat sera un.